【事前学習】 高校のベクトル単元の基礎について復習しておきましょう。

幾何ベクトル
Geometric Vector

本章では、ベクトルの演算のうち、基本となる加法、減法、および実数との乗法（実数倍）など、ベクトルに関する基礎知識について学ぶ。

ベクトルとは？

ベクトルとは、「向き」と「大きさ」という二つの要素をもつ量であり、物体に働く力や風の状態などを表現するのに適した概念である。これに対して、質量や長さのように単一の数値で表される量をスカラーと呼ぶ。ベクトルは通常、矢印を用いて表現され、視覚的に理解しやすい特徴をもつ。

有向線分とベクトルの違い

向きと大きさをもつものとして、有向線分がある。有向線分もベクトルも「向き」と「大きさ」を表すことができ、始点および終点を有している。

しかし、有向線分は始点および終点の絶対的な位置によって区別されるのに対し、ベクトルは始点と終点の相対的な位置関係のみによって定まるものである。

以下の図において、有向線分 $\mathrm{AB}$ と有向線分 $\mathrm{CD}$ は異なるものとして区別されるが、ベクトル $\mathrm{AB}$ とベクトル $\mathrm{CD}$ は同一のものとして扱われる。

ベクトルとは、同じ向きと同じ大きさをもつ有向線分全体の類（同値類）である。すなわち、ベクトルは二点間の位置の差を表す概念である。

ベクトルの表記

高校教育では、ベクトルの表記として、点 $\mathrm{A}$ を始点、点 $\mathrm{B}$ を終点とするベクトルを $\Vec{AB}$ と表す方法、あるいは小文字のアルファベット一文字を用いて $\vec a$ のように表す方法のいずれかが用いられる。本サイトでも同様の表記を用いることとする。

ただし、大学教育では、ベクトルは上矢印を用いずに、太字の小文字を用いて $\boldsymbol{a}$ などと表記されることが多いため、物理学等の他の講義では注意が必要である。

また、ベクトルの大きさ（長さ）は絶対値記号を用いて $|\Vec{AB}|$ や $|\vec a|$ のように表す。したがって、 $\vec a$ と $\vec b$ の長さが等しいことは $|\vec a| = |\vec b|$ と表記する。

さらに、 $\vec a$ と $\vec b$ が平行であることは $\vec a \parallel \vec b$ と表す。加えて、 向きが同じで大きさが等しいとき、これらのベクトルは等しいといい、$\vec a=\vec b$ と表記する。これが $\vec a\sim\vec b$ と表記されることもある。

特別なベクトル

特別なベクトルとして、いくつかの名称が定義されている。大きさが 1 のベクトルは単位ベクトルと呼ばれる。

また、大きさが 0、すなわち始点と終点が同一の位置にあるものもベクトルの一種として扱われ、これを零ベクトルと呼ぶ。零ベクトルは $\vec 0$ のように表記する。

さらに、あるベクトルと大きさが等しく、向きが正反対であるベクトルを逆ベクトルと呼ぶ。例えば、$\Vec{AB}$ の逆ベクトルは $\Vec{BA}$ である。また、 $\vec a$ の逆ベクトルは、マイナスの符号を用いて $-\vec a$ と表記する。

ベクトルの和（加法）

二つのベクトルの和は、それぞれのベクトルを表す矢印を順に連結して得られる矢印である。

三つ以上のベクトルの和についても同様に、すべての矢印を順に連結することで求められる。したがって、ベクトルの和においては、数の四則演算と同様に交換法則および結合法則が成り立つ。

ベクトルの差（減法）

ベクトルの差 $\vec b-\vec a$ は、ベクトル $\vec a$ の終点を始点とし、ベクトル $\vec b$ の終点を終点とするベクトルとして定義される。

ベクトルの実数倍

ベクトルの実数倍とは、ベクトルの大きさを実数倍したものである。実数が正の場合は向きは変わらず、長さのみがその実数倍となる。実数が負の場合は、向きが反対になり、長さはその絶対値倍となる。

２次元ベクトル
2D Vector

Lesson

1. ベクトル $\Vec{AC}-\Vec{DB}-\Vec{EC}+\Vec{DF}-\Vec{BE}$ を簡単にせよ。
2. 長方形$\mathrm{ABCD}$ において、$\Vec{AB}=\vec b,\ \Vec{AD}=\vec d$ とするとき、次のベクトルを $\vec b,\ \vec d$ で表せ。
   1. $\Vec{DB}$
   2. $\Vec{AC}$
3. 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$ の対角線の交点をOとし、$\Vec{OA}=\vec a,\ \Vec{OB}=\vec b$ とするとき、次のベクトルを $\vec a,\ \vec b$ で表せ。
   1. $\Vec{OD}$
   2. $\Vec{AD}$
   3. $\Vec{CD}$
4. 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$ において、$\Vec{AC}=\vec p,\ \Vec{BD}=\vec q$ とするとき、次のベクトルを $\vec p,\ \vec q$ で表せ。*
   1. $\Vec{CD}$
   2. $\Vec{BC}$
5. 正六角形$\mathrm{ABCDEF}$ において、$\Vec{AB}=\vec p,\ \Vec{BC}=\vec q$ とするとき、次のベクトルを $\vec p,\ \vec q$ で表せ。
   1. $\Vec{CD}$
   2. $\Vec{BF}$
   3. $\Vec{CF}$
6. $\triangle\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$、$\mathrm{CA}$、$\mathrm{AB}$ を 1:3 の比に内分する点を、それぞれ $\mathrm{D}$、$\mathrm{E}$、$\mathrm{F}$ とするとき、$\Vec{AB}=\vec b,\ \Vec{AC}=\vec c$ として、次のベクトルを $\vec b,\ \vec c$ で表せ。
   1. $\Vec{AD}$
   2. $\Vec{BE}$
   3. $\Vec{CF}$
   4. $\Vec{AD}+\Vec{BE}+\Vec{CF}$
7. 平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において、辺BCの中点を $\mathrm{E}$、線分 $\mathrm{DE}$ を 1:2 の比に内分する点を $\mathrm{F}$ として、$\Vec{AB}=\vec b,\ \Vec{AD}=\vec d$ とおく。次のベクトルを $\vec b,\ \vec d$ で表せ。
   1. $\Vec{AE}$
   2. $\Vec{DE}$
   3. $\Vec{AF}$
8. $\triangle\mathrm{ABC}$ において、２辺 $\mathrm{AB}$、$\mathrm{AC}$ を 2:1 の比に内分する点を、それぞれ $\mathrm{M}$、$\mathrm{N}$ とするとき、$3\Vec{MN}=2\Vec{BC}$ であることから、$\mathrm{MN}\parallel\mathrm{BC}$ （平行）かつ $3\mathrm{MN}=2\mathrm{BC}$ であることを示せ。
9. $\triangle\mathrm{OAB}$ において、$\Vec{OA}=\vec a,\ \Vec{OB}=\vec b,\ \Vec{OP}=\vec p$ とする。実数 $s,\ t$ がの以下の範囲で動くとき、$\vec p=s \vec a+t \vec b$ となる点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を図示せよ。
   1. $-1 \leq s \leq 1,\ 0 \leq t \leq 2$
   2. $0 < s < 0.5,\ 0 < t < 0.5$
   3. $0 \leq s \leq 1,\ 0 \leq t \leq 1$
10. △ABCにおいて、$\Vec{AC}+t\Vec{BC}$ と $2\Vec{AB}-t\Vec{AC}$ が平行であるとき、実数 $t$ の値を求めよ。

Answer

1. $\Vec{AF}$
   （導出） $\begin{align} =\Vec{AC}+\Vec{BD}+\Vec{CE}+\Vec{DF}+\Vec{EB}\\ =\Vec{AC}+\Vec{CE}+\Vec{EB}+\Vec{BD}+\Vec{DF} \end{align}$
2. 1. $\vec b-\vec d$
   2. $\vec b+\vec d$
3. 1. $-\vec b$
   2. $-\vec a-\vec b$
   3. $\vec a-\vec b$
4. 1. $\frac{\vec q - \vec p}{2}$ $=\frac{1}{2}\vec q-\frac{1}{2}\vec p$
   2. $\frac{\vec p + \vec q}{2}$ $\frac{\vec p}{2},\frac{\vec q}{2}$を基本に考える
5. 1. $\vec q-\vec p$
   2. $\vec q-2\vec p$
   3. $-2\vec p$
6. 1. $\frac{3\vec b + \vec c}{4}$
   2. $-\vec b+\frac{3}{4}\vec c$
   3. $\frac{1}{4}\vec b-\vec c$
   4. $\vec 0$
7. 1. $\vec b+\frac{1}{2}\vec d$
   2. $\vec b-\frac{1}{2}\vec d$
   3. $\frac{1}{3}\vec b+\frac{5}{6}\vec d$ $\Vec{AF}=\Vec{AD}+\frac{1}{3}\Vec{DE}$
8. （$3\Vec{MN}=2\Vec{BC}$を証明する）
   $\begin{align} \Vec{MN}&=\Vec{AN}-\Vec{AM}\\ &=\frac{2}{3}\Vec{AC}-\frac{2}{3}\Vec{AB}\\ &=\frac{2}{3}(\Vec{AC}-\Vec{AB})\\ &=\frac{2}{3}\Vec{BC} \end{align}$
9. $s,t$の値が可動範囲の両端になる時の$\vec p$をとりあえずプロットしてみる。
   $(s,t)=(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)$など
   

   

10. $t=1\pm\sqrt 3$
    例えば$\Vec{AB},\Vec{AC}$だけで表す。 $\Vec{BC}=\Vec{AC}-\Vec{AB}$
    $-t\Vec{AB}+(1+t)\Vec{AC}=k(2\Vec{AB}-t\Vec{AC})$
    $-t:1+t=2:-t$ （係数の比が等しい）
    $t^2=2(1+t)$ （係数をタスキにかけたものが等しい）

３次元ベクトル
3D Vector

空間ベクトルは、二次元のベクトルである平面ベクトルを三次元に拡張したものである。二つのベクトルの和や差、ベクトルの実数倍といった演算、およびそれらに対する交換法則や結合法則も、平面ベクトルと同様に成り立つ。

平面上では、互いに一次独立な二つのベクトルの線形結合によって任意のベクトルを表すことができるが、空間内で任意のベクトルを表すためには、互いに一次独立な三つのベクトルが必要である。

平面における平行四辺形に対応する空間内の図形は平行六面体である。平行六面体とは、向かい合う三組の面がそれぞれ平行である六面体であり、すべての面が平行四辺形から構成される立体である。

Lesson

1. 平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\Vec{AB}=\vec b,\ \Vec{AD}=\vec d,\ \Vec{AE}=\vec e$ とするとき、次のベクトルを $\vec b,\ \vec d,\ \vec e$ で表せ。
   1. $\Vec{EG}$
   2. $\Vec{AG}$
   3. $\Vec{FD}$
2. 平行六面体ABCD-EFGHにおいて、$\Vec{AC}=\vec c,\ \Vec{AF}=\vec f,\ \Vec{AH}=\vec h$ とするとき、次のベクトルを $\vec c,\ \vec f,\ \vec h$ で表せ。
   1. $\Vec{AB}$
   2. $\Vec{BF}$
   3. $\Vec{AG}$
   4. $\Vec{BH}$
3. 四面体OABCの△ABCの重心をGとする。辺BC, AB, OCの中点をそれぞれD, E, Fとし、線分EFの中点をMとする。$\Vec{OA}=\vec a,\ \Vec{OB}=\vec b,\ \Vec{OC}=\vec c$ とするとき、次のベクトルを $\vec a,\ \vec b,\ \vec c$ で表せ。
   1. $\Vec{OD}$
   2. $\Vec{OG}$
   3. $\Vec{EF}$
   4. $\Vec{OM}$
4. 四面体OABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれD, E, Fとし、$\Vec{OA}=\vec a,\ \Vec{OB}=\vec b,\ \Vec{OC}=\vec c$ とするとき、次のベクトルを $\vec a,\ \vec b,\ \vec c$ で表せ。
   1. $\Vec{OD}+\Vec{OE}+\Vec{OF}$
   2. $\Vec{AD}+\Vec{BE}+\Vec{CF}$
5. 四面体OABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれD, E, Fとし、$\Vec{OD}=\vec d,\ \Vec{OE}=\vec e,\ \Vec{OF}=\vec f$ とするとき、次のベクトルを $\vec d,\ \vec e,\ \vec f$ で表せ。
   1. $\Vec{OA}+\Vec{OB}+\Vec{OC}$
   2. $\Vec{OA}$
   3. $\Vec{AB}$

Answer

1. 1. $\vec b + \vec d$
   2. $\vec b + \vec d + \vec e$
   3. $-\vec b + \vec d - \vec e$
2. 1. $\frac{\vec c + \vec f - \vec h}{2}$
   2. $\frac{-\vec c + \vec f + \vec h}{2}$
   3. $\frac{\vec c + \vec f + \vec h}{2}$
   4. $\frac{-\vec c - \vec f + 3\vec h}{2}$
3. 1. $\frac{\vec b + \vec c}{2}$
   2. $\frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}$
   3. $\frac{\vec c - \vec a - \vec b}{2}$
   4. $\frac{\vec a + \vec b + \vec c}{4}$
4. 1. $\vec a + \vec b + \vec c$
   2. $\vec 0$
5. 1. $\vec d + \vec e + \vec f$
   2. $-\vec d + \vec e + \vec f$
   3. $2\vec d - 2\vec e$

【事後学習】 平行四辺形や平行六面体に関する問題の解法を復習しておきましょう。

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